feat(ui): 검색 UX 개선(aria, clear 버튼, enterKeyHint)

docs(todo): 헤더 네비 6번 완료 표시

.cursor/.prompt/header_navigation작업.md

@@ -21,8 +21,8 @@
 - [ ] 보드 타입/승인필요 등 뱃지 표기 여부 결정 및 적용
 
 6) 검색창 구현
-- [ ] 헤더 검색 입력 UI 추가(placeholder, 키보드 액션)
-- [ ] 검색 엔드포인트/페이지 연동(`src/app/search/page.tsx`)
+- [x] 헤더 검색 입력 UI 추가(placeholder, 키보드 액션)
+- [x] 검색 엔드포인트/페이지 연동(`src/app/search/page.tsx`)
 
 7) 스타일/반응형/테마
 - [ ] 모바일 메뉴 토글(햄버거) 및 접근성 속성(aria-* ) 적용